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人工智能AI：Keras PyTorch MXNet TensorFlow PaddlePaddle 深度学习实战（不定时更新）

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2 常见的距离公式

2.1 欧式距离(Euclidean Distance)：

欧氏距离是最容易直观理解的距离度量方法，我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d = 1.4142    2.8284    4.2426    1.4142    2.8284    1.4142

2.2 曼哈顿距离(Manhattan Distance)：

在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d =   2     4     6     2     4     2

2.3 切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)：

国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d =   1     2     3     1     2     1

2.4 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)：

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述。

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

其中p是一个变参数：

• 当p=1时，就是曼哈顿距离；

• 当p=2时，就是欧氏距离；

• 当p→∞时，就是切比雪夫距离。

根据p的不同，闵氏距离可以表示某一类/种的距离。

小结：

1 闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离，都存在明显的缺点:

e.g. 二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。

a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。

2 闵氏距离的缺点：

​ (1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

​ (2)未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。

3 “连续属性”和“离散属性”的距离计算

我们常将属性划分为"连续属性" (continuous attribute)和"离散属性" (categorical attribute)，前者在定义域上有无穷多个可能的取值，后者在定义域上是有限个取值.

• 若属性值之间存在序关系，则可以将其转化为连续值，例如：身高属性“高”“中等”“矮”，可转化为{1, 0.5, 0}。
  • 闵可夫斯基距离可以用于有序属性。
• 若属性值之间不存在序关系，则通常将其转化为向量的形式，例如：性别属性“男”“女”，可转化为{（1,0），（0,1）}。

4 小结

• 1 距离公式的基本性质：非负性、统一性、对称性、直递性【了解】
• 2 常见距离公式
  • 2.1 欧式距离(Euclidean Distance)【知道】：
    • 通过距离平方值进行计算
  • 2.曼哈顿距离(Manhattan Distance)【知道】：
    • 通过距离的绝对值进行计算
  • 3.切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)【知道】：
    • 维度的最大值进行计算
  • 4.闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)【知道】：
    • 当p=1时，就是曼哈顿距离；
    • 当p=2时，就是欧氏距离；
    • 当p→∞时，就是切比雪夫距离。
• 3 属性【知道】
  • 连续属性
  • 离散属性，
    • 存在序关系，可以将其转化为连续值
    • 不存在序关系，通常将其转化为向量的形式

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知识拓展：其他距离公式

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1 标准化欧氏距离 (Standardized EuclideanDistance)：

标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。

思路：既然数据各维分量的分布不一样，那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。

如果将方差的倒数看成一个权重，也可称之为加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];（假设两个分量的标准差分别为0.5和1）
经计算得:
d =   2.2361    4.4721    6.7082    2.2361    4.4721    2.2361

2 余弦距离(Cosine Distance)

几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异；机器学习中，借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

• 二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：

夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。

举例:

X=[[1,1],[1,2],[2,5],[1,-4]]
经计算得:
d =   0.9487    0.9191   -0.5145    0.9965   -0.7593   -0.8107

3 汉明距离(Hamming Distance)【了解】：

两个等长字符串s1与s2的汉明距离为：将其中一个变为另外一个所需要作的最小字符替换次数。

例如:

  The Hamming distance between "1011101" and "1001001" is 2. The Hamming distance between "2143896" and "2233796" is 3. The Hamming distance between "toned" and "roses" is 3.

随堂练习：
求下列字符串的汉明距离：1011101与 1001001 　2143896与 2233796 irie与 rise

汉明重量：是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离，也就是说，它是字符串中非零的元素个数：对于二进制字符串来说，就是 1 的个数，所以 11101 的汉明重量是 4。因此，如果向量空间中的元素a和b之间的汉明距离等于它们汉明重量的差a-b。

应用：汉明重量分析在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。比如在信息编码过程中，为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大。但是，如果要比较两个不同长度的字符串，不仅要进行替换，而且要进行插入与删除的运算，在这种场合下，通常使用更加复杂的编辑距离等算法。

举例:

X=[[0,1,1],[1,1,2],[1,5,2]]
注：以下计算方式中，把2个向量之间的汉明距离定义为2个向量不同的分量所占的百分比。经计算得:
d =   0.6667    1.0000    0.3333

4 杰卡德距离(Jaccard Distance)【了解】：

杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)：两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示：

举例:

X=[[1,1,0],[1,-1,0],[-1,1,0]]
注：以下计算中，把杰卡德距离定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例
经计算得:
d =   0.5000    0.5000    1.0000

5 马氏距离(Mahalanobis Distance)【了解】

下图有两个正态分布图，它们的均值分别为a和b，但方差不一样，则图中的A点离哪个总体更近？或者说A有更大的概率属于谁？显然，A离左边的更近，A属于左边总体的概率更大，尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。

马氏距离是基于样本分布的一种距离。

马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个位置样本集的相似度的方法。

与欧式距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，即独立于测量尺度。

马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为∑的随机变量的差异程度：如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧式距离；如果协方差矩阵为对角矩阵，则其也可称为正规化的欧式距离。

马氏距离特性：

1.量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰；

2.马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；

3 .计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。

4.还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5，6），（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。

欧式距离&马氏距离：