简介

标准定义（参考同济版教材自己给出的定义）：

设$f(x,y,z....)$是有界区域D上的有界函数，讲闭区间D任意分成n个小闭区域 ${\sigma }_n$ 在每个小闭区域中任取一点，把小闭区域的函数值用$f(x,y,z....)$来代表，记这个小闭区域的最大直径（超直径）为d，那么$$\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x,y,z....)d{\sigma }_n$$ 可以认为是这块区域的求和，如果把这个变量连续，则$${\iint }_{D}f(x,y,z....)d{\sigma }_n$$

一些界定和直观理解

• 积分号逆序计算，积分变量顺序计算
  不存在不定积分，只存在定积分
  多重积分一样具有积分的可加性和一些积分的性质
  有选择:直角坐标 or 极坐标;分解是先对x积还是先对y积

计算方法

1. 将限定的区域D转化为每一个变量的上下限
2. 使用简化公式将多积分转化为单积分的序列（不同顺序的积分是相等的，因为从几何上面看都等于图像关于轴轴的体积或者是超体积）
3. 按照单序列的方式去求积分，这个过程中其他变量暂时视为常数

累次积分和多重积分

积分换元法

雅可比式

见另文

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多元积分中雅可比式的应用
多元积分中雅可比式的应用非常广泛，它可以用于变量替换、坐标系转换等问题。

在多元积分中，变量替换是一个常见的问题。例如，我们要计算一个二元函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

如果我们进行变量替换 $x=u(x,y),y=v(x,y)$，那么积分变为：

$${\iint }_{D’}f(u,v)\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

其中 $\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|$ 就是雅可比行列式。它描述了变量替换对积分的影响，即面积或体积的变化率。

另一个应用是坐标系转换。例如，我们要计算一个三元函数 $f(x,y,z)$ 在球坐标系下的积分：

$${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

如果我们进行坐标系转换 $x=r\sin \theta \cos \varphi ,y=r\sin \theta \sin \varphi ,z=r\cos \theta$，那么积分变为：

$${\iiint }_{V’}f(r,\theta ,\varphi )\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}\right|\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$$

其中 $\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}\right|$ 就是雅可比行列式。它描述了坐标系转换对积分的影响，即体积的变化率。

总之，雅可比行列式在多元积分中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决各种变量替换和坐标系转换的问题。
多元积分中雅可比式的应用可以通过以下例子来说明：

假设有一个二元函数 $f(x,y)$，定义在一个矩形区域 $D$ 上，其中 $D$ 的边界由四个点 $(a,b),(a,c),(d,b),(d,c)$ 组成。现在我们希望计算函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

为了进行积分，我们需要将积分区域 $D$ 转化为一个标准矩形区域 $R$，即一个边长分别为 $1$ 的正方形。为了实现这一点，我们可以进行如下的变量替换：

$$u=\frac{x-a}{d-a},v=\frac{y-b}{c-b}$$

这个变量替换将矩形区域 $D$ 映射到了标准矩形区域 $R$ 上，其中 $u,v$ 分别是标准矩形区域 $R$ 上的坐标。我们可以通过求解雅可比矩阵来计算变量替换的雅可比式：

$$J=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)$$

根据变量替换的定义，我们可以得到：

$$\left(\begin{array}{c}xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ab\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}d-a& 0\\ 0& c-b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}uv\end{array}\right)$$

因此，雅可比矩阵可以表示为：

$$J=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d-a& 0\\ 0& c-b\end{array}\right)$$

根据雅可比式的定义，我们可以得到：

$$dxdy=\left|\det (J)\right|dudv=(d-a)(c-b)dudv$$

讨论x,du对x造成的变化是dx;dv对x造成的变化也是dx,但是根据雅可比式的定义方法,用导数可以描述单位变量变化对函数的影响,所以,这个矩阵变化将u和v的变化映射给k了函数x,y;单位变量的变化对于x,y的影响线性叠加可以得到一个变化的合向量:$$(\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv,\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv)$$
也就是经过这个矩阵变化完了的x,y.
从初始的(u,v)变化到最后的(x,y)的面积缩放是这个雅可比行列式.
$$面积表征为坐标相乘的形式,uv相乘得到的是一个数值,这个数值和x\ast y的映射就为这个描述面积变化的行列式.$$
综上,$$dxdy=|J|dudv描述的就是这个坐标数量表征的变化$$
逻辑推导过程

1. 描述u,v到x,y
2. u,v都会对x,y单独影响
3. 这个变化用矩阵描述出来后,行列式描述的是面积变化,面积变化和uv ,xy相乘呈现应该是线性关系
4. 所有xy乘积就可以用uv来映射

因此，原积分可以转化为：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{R}f(u,v)(d-a)(c-b)dudv$$

这个积分可以通过对标准矩形区域 $R$ 进行数值积分来计算。

上述就是对二重积分换元法的介绍和直观解释