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一、什么是范式？

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。

我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算 AX = B，可以将向量 X 变化为 B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

这里简单地介绍以下几种向量范数和矩阵范数定义和含义。

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二、向量范式

1-范数

1-范数（表示向量元素绝对值之和）norm(x, 1)

2-范数

2-范数（表示向量长度）norm(x, 2)

P-范数

P-范数（向量元素绝对值的 p 次幂加和之后，开 p 次方根）norm(x, p)

在三维空间中绘制范数图形，如下：

根据上图 p 的取值不同，p-范数图形有着不同的变化，一个经典的有关 p-范数示意图，如下：

上图表示了 p 从无穷到 0 变化时，三维空间中到原点的距离（范数）为 1 的点构成的图形的变化情况。以常见的 2-范数（p = 2）为例，此时的范数也即欧氏距离，空间中到原点的欧氏距离为 1 的点构成了一个球面。一般没加下标的范数，是省略了下标 2，代表的意思为求向量模长。

∞-范数

∞-范数（所有向量元素绝对值中的最大值）norm(x, inf)

-∞-范数

-∞-范数（所有向量元素绝对值中的最小值）norm(x, -inf)

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三、矩阵范式

1-范数

1-范数（列和范数，A 每一列元素绝对值之和的最大值）norm(A, 1)

2-范数

2-范数（谱范数，A’A 矩阵的最大特征值的平方根）norm(A, 2)

∞-范数

∞-范数（行和范数，A 每一行元素绝对值之和的最大值）norm(A, inf)

F-范数

F-范数（Frobenius 范数，矩阵元素的平方和再开方）norm(A, ‘fro’)

SVD 应用中，F-范数与奇异值分解 A = UΣV 联系，A 的 F-范数为 Σ 的 F-范数，即奇异值平方加和再开根号。此外，矩阵的近似最优中，若 r(X) < r(A)，则 A - X 的 F-范数，即各自 Σ 的 F-范数之差。

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四、小结

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