组合数

1.定义

组合数：从 n 个不同元素中每次取出 m 个不同元素，不管其顺序合成一组，称为从 n 个元素中不重复地选取 m 个元素的一个组合。所有这样的组合的种数称为组合数。

2.性质与描述

2.1写法

在线性写法中被写作C(n,m)。

组合数的计算公式为：
在这里插入图片描述

2.2性质

性质1.

从n个不同元素中取出m个元素的组合数 == 从n个不同元素中取出 (n-m) 个元素的组合数；
理解：
这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。
互补性质

性质2：

组合恒等式：
若表示在 n 个物品中选取 m 个物品，则如存在下述公式：

C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

关于其数学证明可以看：这篇文章
dp证明：(帅哥美女必会)
如果学过一点点dp的帅哥美女都知道利用dp思想来解决问题
ex:

状态表示：
c[i][j]表示在i个物品里选j个的选法总数；那么选的状态：选这个物品 或者 不选 选第j个物品的总数为：c[i-1][j];
不选第j个物品的总数为：c[i-1][j-1];(就是从前j-1个物品里选)那么状态方程可以表示为：
c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];

3.代码运用与解释：

3.1说明：

在学习算法的过程中注意数据范围是十分重要的，重要到就像有多少钱取什么样的老婆，在算法过程中数据范围越大，你的钱越少，挑老婆的余地也越少，那么使用的方法也就越难。接下来作者本人就带你学习一下。

3.2四大方法（有多少钱就选什么样的老婆）：

描述：
有a个物品，挑b个物品问有几种选法,询问n次。

(1)：1<=b<=a<=2000,10万次询问。

解法：先预处理一下(递推)，把所有答案都预处理出来，然后直接询问出答案。

处理方式：运用的组合恒等式 双重循环，dp求解。

代码如下：

// c[a][b] 表示从a个中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )for (int j = 0; j <= i; j ++ )if (!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

时间复杂度为：O(a^2);

(2).1<=a<=b<=100000,1万次询问，答案太大需要mod 1e9+7。

解法：利用逆元求解
简单了解一下逆元：设x为a的逆元，那么有x*a(mod p)== 1;（a要和p互质）
x称为a模上p的逆元，那么x可以理解为a的倒数。因为乘起来结果取模是一样的。

逆元的求法：运用费马小定理：
若a与p互质那么：b^(p-1)mod§==1。
把b^(p-1)拆开来：b * b ^(p-2).
那么b ^(p-2)就相当于x了，即为b的逆元。

但是还是有很多细节需要注意，p可能太大了，需要快速幂来求解

在这里插入图片描述

看代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;;
long long f[N],nf[N];
int ksm(int a,int b,int p)    //快速幂
{long long res=1;while(b){if(b&1)res=res*a%p;a=(long long)a*a%p;b>>=1;}return res;
}
int main()
{f[0]=nf[0]=1;                    //0!=1,f[i]为i的阶层，nf为逆元for(int i=1;i<=N;i++){f[i]=f[i-1]*i%mod;nf[i]=nf[i-1]*ksm(i,mod-2,mod)%mod;   //快速幂求逆元}int t;cin>>t;while(t--){int a,b;cin>>a>>b;printf("%lld\n",f[a]*nf[a-b]%mod*nf[b]%mod);}return 0;
}

(3).1<=b<=a<=1e^18,1<=p<=1e5;

在此引入卢卡斯定理：
若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：
C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)

#include<iostream>
using namespace std;long long ksm(long long a,long long b,long long p)
{long long res=1;while(b){if(b&1)res=res*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return res;
}
long long C(long long a,long long  b,long long p)
{long long res=1;for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)      {res=res*j%p;res=res*ksm(i,p-2,p)%p;       //至于为什么，自己想。或者是看下面的解释}return res;
}long long lucas(long long a,long long b,long long p)
{if(a<p&&b<p)return C(a,b,p);      //直接returnelse return C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p)%p;   //因为a/p不一定比p小，所以还是需要调用一次
}
int main()
{int t;cin>>t;while(t--){long long  a,b,p;cin>>a>>b>>p;cout<<lucas(a,b,p)<<endl;}
}

为什么可以这样求解 :
Cba=a!(a−b)!∗b!=a∗(a−1)∗(a−2)∗…∗(a−b+1)∗(a−b)∗…∗1/(a−b)∗(a−b−1)∗…∗1∗b!
=a∗(a−1)∗(a−2)∗…(a−b+1)/b!
分子一共有a-(a-b)项，也就是b项。所以直接分别求阶层即可。

(4).1<=a<=b<=5000,不取模

当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + …
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘

#include<iostream>
using namespace std;
const int  N=5010;
bool str[N];
int prime[N],c[N],res[N],x;void muli(int b)     //高精度
{int t=0;for(int i=1;i<=x;i++){res[i]=res[i]*b+t;t=res[i]/10;res[i]=res[i]%10;}while(t){res[++x]=t%10;t=t/10;}while(res[x]==0&&x>0)x--;
}
int get(int a,int p)    //求质因子的个数a!中质因子为p的个数
{int t=0;while(a){t+=a/p;a/=p;}return t;
}
int main()
{int a,b;cin>>a>>b;for(int i=2;i<=a;i++){if(str[i]==0)for(int j=i+i;j<=a;j+=i)str[j]=true;     筛质数}for(int i=2;i<=a;i++){if(!str[i]){c[i]=get(a,i);}}for(int i=2;i<=b;i++){if(!str[i]){c[i]-=get(b,i);       //  减去b!的质因子}}for(int i=2;i<=a-b;i++){if(!str[i]){c[i]-=get(a-b,i);            //  减去(a-b)!的质因子}}res[1]=1;x=1;    //x为位数for(int i=2;i<=a;i++){for(int j=1;j<=c[i];j++){muli(i);}}for(int i=x;i>=1;i--)printf("%d",res[i]);return 0;
}