1 边缘检测原理

边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题，边缘检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化。
边缘的表现形式如下所示：
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优势：图像边缘检测大幅度地减少了数据量，并且剔除了可以认定为不相关地信息，还可以保留图像重要地结构属性。
用于边缘检测的方法可以分为两类：基于搜索和基于零穿越。

基于搜索：通过寻找图像一阶导数中的最大值来检测边界，然后利用计算结果估计边缘的局部方向，通常采用梯度的方向，并利用此方向找到局部梯度模的最大值，代表算法有：Sobel算子和Scharr算子。
基于零穿越：通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界，代表算法是Laplacian算子。

2 Sobel检测算子

Sobel检测算法较简单，在实际应用中效率比canny检测算法效率更高，但检测精度不如canny准确。Sobel检测算子是高斯平滑和微分操作的结合体，因此其抗噪声能力很强，用途较多。

2.1 Sobel检测方法

对于不连续的函数，一阶导数可写作：
$f^{'}(x) = f(x) - f(x-1) \quad 或 \quad f^{'}(x) = f(x+1) - f(x)$
所以有：
$f^{'}(x) = \frac{f(x+1) - f(x-1)}{2}$
假设要处理的图像为 $I$ ，在两个方向（水平和垂直）上求导：

水平变化：将图像 $I$ 与奇数大小的模板进行卷积，结果为 $G_x$ 。例如：当模板大小为3时， $G_x$ 为：
$G_x = \begin{vmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{vmatrix} * I$
垂直变化：将图像 $I$ 与奇数大小的模板进行卷积，结果为 $G_y$ 。例如：当模板大小为3时， $G_y$ 为：
$G_y = \begin{vmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ +1 & +2 & +1 \end{vmatrix} * I$
在图像的每一点，结合以上两个结果求出：
$\sqrt{G_x^{2} + G_y^{2}}$
之后统计极大值所在的位置，就是图像的边缘 $x_l, y_l)$

注意：当内核大小为3时，以上Sobel内核可能产生比较明显的误差，为解决这一问题，可使用Scharr函数，但该函数仅作用于大小为3的内核。该函数的运算与Sobel函数一样快，但结果却更加精确，其计算方法为:
水平方向：
$G_x = \begin{vmatrix} -3 & 0 & +3 \\ -10 & 0 & +10 \\ -3 & 0 & +3 \end{vmatrix} * I$
垂直方向：
$G_y = \begin{vmatrix} -3 & -10 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ +3 & +10 & +3 \end{vmatrix} * I$

2.2 应用

利用OpenCV进行sobel边缘检测的API：Sobel_x_or_y = cv2.Sobel(src, ddepth, dx, dy, dst, ksize, scale, delta, borderType)
参数：

src：传入的图像
ddepth: 图像的深度
dx和dy: 指求导的阶数，0表示这个方向上没有求导，取值为0、1。
ksize: 是Sobel算子的大小，即卷积核的大小，必须为奇数1、3、5、7，默认为3。注意：如果ksize=-1，就演变成为3x3的Scharr算子。
scale：缩放导数的比例常数，默认情况为没有伸缩系数
borderType：图像边界的模式，默认值为cv2.BORDER_DEFAULT。

Sobel函数求完导数后会有负值，还有会大于255的值。而原图像是uint8，即8位无符号数，所以Sobel建立的图像位数不够，会有截断。因此要使用16位有符号的数据类型，即cv2.CV_16S。处理完图像后，再使用cv2.convertScaleAbs()函数将其转回原来的uint8格式，否则图像无法显示。

Sobel算子是在两个方向计算的，最后还需要用cv2.addWeighted( )函数将其组合起来

Scale_abs = cv2.convertScaleAbs(x)  # 格式转换函数
result = cv2.addWeighted(src1, alpha, src2, beta) # 图像混合

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 1 读取图像
img = cv.imread('./image/horse.jpg',0)
# 2 计算Sobel卷积结果
x = cv.Sobel(img, cv.CV_16S, 1, 0)
y = cv.Sobel(img, cv.CV_16S, 0, 1)
# 3 将数据进行转换
Scale_absX = cv.convertScaleAbs(x)  # convert 转换  scale 缩放
Scale_absY = cv.convertScaleAbs(y)
# 4 结果合成
result = cv.addWeighted(Scale_absX, 0.5, Scale_absY, 0.5, 0)
# 5 图像显示
plt.figure(figsize=(10,8),dpi=100)
plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap=plt.cm.gray),plt.title('原图')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(result,cmap = plt.cm.gray),plt.title('Sobel滤波后结果')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

在这里插入图片描述
将上述代码中计算sobel算子的部分中将ksize设为-1，就是利用Scharr进行边缘检测。

x = cv.Sobel(img, cv.CV_16S, 1, 0, ksize = -1)
y = cv.Sobel(img, cv.CV_16S, 0, 1, ksize = -1)

在这里插入图片描述

3 Laplacian算子

Laplacian是利用二阶导数来检测边缘。由于图像是二维数据，需要在两个方向上进行求导，如下是所示：
$\Delta src = \frac{\partial^2}{\partial x^2}{src} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}{src}$
不连续函数的二阶导数为：
$f^{''}(x) = f^{'}(x+1) - f^{'}(x) = f(x+1) + f(x-1)$
那么使用的卷积核应为：
$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
API接口：laplacian = cv2.Laplacian(src, ddepth[, dst[, ksize[, scale[, delta[, borderType]]]]])
参数：

Src: 需要处理的图像，
Ddepth: 图像的深度，-1表示采用的是原图像相同的深度，目标图像的深度必须大于等于原图像的深度；
ksize：算子的大小，即卷积核的大小，必须为1,3,5,7。

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 1 读取图像
img = cv.imread('./image/horse.jpg',0)
# 2 laplacian转换
result = cv.Laplacian(img,cv.CV_16S)
Scale_abs = cv.convertScaleAbs(result)
# 3 图像展示
plt.figure(figsize=(10,8),dpi=100)
plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap=plt.cm.gray),plt.title('原图')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(Scale_abs,cmap = plt.cm.gray),plt.title('Laplacian检测后结果')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

在这里插入图片描述

4. Canny边缘检测

Canny 边缘检测算法是一种非常流行的边缘检测算法，是 John F. Canny 于 1986年提出的，被认为是最优的边缘检测算法。

4.1 原理

Canny边缘检测算法是由4步构成，分别是：

噪声去除
由于边缘检测很容易受到噪声的影响，因此首先使用 $5 * 5$ 的高斯滤波器去除噪声。
计算图像梯度
对平滑后的图像使用Sobel算子计算水平和垂直方向的一阶导数( $G_x和G_y$ )。根据得到的这两幅梯度图找到边界的梯度和方向，公式为：
$Edge_Gradient(G)= \sqrt{G_{x}^{2}+G_{y}^{2}} \\ Angle(\theta) = tan^{-1} (\frac{G_y}{G_x})$
如果某个像素点是边缘，则其梯度方向总是垂直与边缘垂直。梯度方向被归为四类：水平、垂直和两个对角线方向。
非极大值抑制
在获得梯度的方向和大小后，对整幅图像进行扫描，去除那些非边界上的点。对每一个像素进行检查，看这个点的梯度是不是周围具有相同梯度方向的点中最大的，即：

A点位于图像的边缘，在其梯度变化方向，选择像素点B和C，用来检验A点的梯度是否为极大值，若为极大值，则进行保留，否则A点被抑制，最终的结果是具有“细边”的二进制图像。
滞后阈值
现在要确定真正的边界：设置两个阈值： minVal 和 maxVal。当图像的灰度梯度高于 maxVal 时被认为是真的边界，低于 minVal 的边界会被抛弃。如果介于两者之间的话，就要看这个点是否与某个被确定为真正的边界点相连，如果是就认为它也是边界点，如果不是就抛弃。如下图：

如上图所示，A 高于阈值 maxVal 所以是真正的边界点，C 虽然低于 maxVal 但高于 minVal 并且与 A 相连，所以也被认为是真正的边界点。而 B 就会被抛弃，因为低于 maxVal 而且不与真正的边界点相连。所以选择合适的 maxVal 和 minVal 对于能否得到好的结果非常重要。

4.2应用

在OpenCV中要实现Canny检测使用的API:canny = cv2.Canny(image, threshold1, threshold2)
参数：

image:灰度图
threshold1: minval，较小的阈值将间断的边缘连接起来
threshold2: maxval，较大的阈值检测图像中明显的边缘

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# 1 图像读取
img = cv.imread('./image/horse.jpg',0)
# 2 Canny边缘检测
lowThreshold = 0
max_lowThreshold = 100
canny = cv.Canny(img, lowThreshold, max_lowThreshold) 
# 3 图像展示
plt.figure(figsize=(10,8),dpi=100)
plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap=plt.cm.gray),plt.title('原图')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(canny,cmap = plt.cm.gray),plt.title('Canny检测后结果')
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()