人工智能数学基础---不定积分4：有理函数求积分的方法

article/2025/8/21 19:15:07

一、引言

在《人工智能数学基础–不定积分2：利用换元法求不定积分》、《人工智能数学基础—不定积分3：分部积分法》分别介绍了换元积分法和分步积分法。但有些函数表达式很复杂，如果直接用换元积分法和分步积分法不好计算积分，这时需要先对函数进行化简。本文介绍的有理函数求积分就是一种化繁为简的不定积分计算方法。

二、有理函数的概念

2.1、定义

两个多项式的商P(x)/Q(x)称为有理函数，又称为有理分式。

2.2、补充说明

上述定义假设P(x)、Q(x)之间没有公因式，因为有就可以相约去除；
当分子多项式P(x)的次数（变量的最高幂次）小于分母多项式Q(x)的次数，则称有理函数为真分式，否则称为假分式；
利用多项式的除法，总可以将一个假分式化为一个多项式和一个真分式的和；
对于真分式P(x)/Q(x)，如果分母Q(x)可以分解为两个多项式的乘积Q1(x)Q2(x)，即Q(x)=Q1(x)Q2(x)，且Q1(x)、Q2(x)没有公因式，则真分式P(x)/Q(x)可以拆分成两个真分式之和，即：P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x)+P2(x)/Q2(x)。这个过程称为把真分式化成部分分式之和。如果Q1(x)或Q2(x)还可以分解成两个公因式的多项式的乘积，那么可以再拆分成更简单的部分分式。
经过真分式化成部分分式之和的处理后，最后有理函数的分解式中只会出现多项式、P1(x)/(x-a)^k、P2(x)/(x²+px+q)^l等三类函数（这里p² - 4q<0，P1(x)为小于k次的多项式，P2(x)为小于2l次的多项式）。多项式的积分利用不定积分的加法运算即可以化成每个项的积分，就可以比较容易求出。

思考：学这里时，老猿在想为什么有理函数就可以化为这三种类型的函数呢？仔细想了下，应该是如下理由：

多项式以及后面两个真分式的分子就不用说了，主要是后面两个真分式的分母为什么是那样的；
任何一个变量的n次多项式，其构成起决定作用的是其最高次数n，而任何一个整数n，都可以表示成一个整数和一个偶数的和，因此才有这两种形式的分母。

三、真分式的求解积分方法

先看2个例题：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
从以上两个例题可以看到，老猿总结真分式求积分的步骤如下：

首先将分母化解为n个没有公因式的多项式的乘积；
将化解后的有理函数拆分成n个真分式的和，每个真分式的分母为上述n个多项式中的一个，分子为比分母低一次的带未知系数的完整多项式；
根据被积函数与上述n个真分式相等的关系，得到变量的每次系数之间的关系，通过这个关系求出所有未知系数，将其带入到步骤2中的n个真分式中，即将原有理函数求积分化为了n个真分式的和求积分；
利用积分加法运算针对每个真分式求积分，得到最后的积分结果。

四、部分非有理函数化为有理函数求积分

有理数函数求积分的方法，不只是能应用于有理函数，也可以应用于用换元法等方法可化为有理函数的的部分函数。

4.1、三角函数案例

在这里插入图片描述
小结：可以看到，通过将三角函数进行u=tan（x/2）的换元，就可以将由三角函数组成的类似有理式的积分计算转换成有理函数的方式来计算，最后结果再将变量x=2arctan u替换回来即可，这种处理方式对三角函数类似有理式的积分都可以应用。

注意：当变量x∈（（2k-1）π，（2k+1）π）时，作变换u=tan（（x-2kπ）/2）=tan(x/2)，x=2kπ+2arctan u，一样可以应用有理分式求积分。

4.2、n次开方案例

案例1：

在这里插入图片描述

案例2：

在这里插入图片描述
小结：通过上面的案例可以看到，如果被积函数中含有简单根式，可以通过将简单根式设为u，从而将被积函数化为有理分式，用该有理分式求出积分，再用u到x的反变换将结果代换，就可以求得这种带根式的函数积分。

五、小结

本文介绍了有理函数的概念及有理函数求积分的方法，并对于类似有理函数的三角函数形式的被积函数和带根式的被积函数，通过适当地换元变换化为有理函数求积分。

说明：

本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

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