最近在学习M. W. Mehrez的MPC时发现了很多不了解的细节，分享一下对该算法的梳理与理解。

在自动驾驶或机器人领域中，模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)解决的是轨迹规划的问题。其前提条件是环境地图、载体位姿已知，根据MPC算法，得到一条轨迹，轨迹中包含载体运行所需的每一时刻的速度信息，最终实现对载体的控制。

为什么要用MPC？以差分底盘小车为研究对象，更传统的输出轨迹方法是“控制-定位-控制”的模式，如DWA。但是计算机的控制有时间延迟，第一次发出速度指令并进行定位时，小车已经向前走了一个距离，而下一时刻发送的速度指令是基于上次定位的信息，也就是说控制是滞后的。MPC可以根据过去的信息以及载体模型，推算出未来一定时间内的最优控制策略，从而解决了控制滞后的问题。

算法原理

结合下图，$x(\cdot )$表示状态变量，其中蓝线对应的$x^r$代表想要达到的目标状态，上标r代表reference。$u(\cdot )$表示控制变量。根据当前时刻的状态，和当前时刻的控制量，就能得到下一时刻的状态量，例如知道当前位置和前进的速度，就能知道下一时刻的位置。其数学上的表示为：
$$x(k+1)=f(x(k),u(k))$$
该式称为系统方程。

模型预测控制，又称为滚动时域控制，其核心策略有三点，预测、实施优化和移动窗口：

1. 预测 Prediction
   预测指的是，例如当前在$k$时刻，建立一个包含$N$个时刻的“窗口”，然后根据当前时刻的状态量$x(k)$，计算一个最优控制序列，也就是计算得到$u^{\ast }(k)$、$u^{\ast }(k+1)$、$...$、$u^{\ast }(k+N-1)$，共$N$个控制量，上标*代表最优的结果。其中$u^{\ast }(k)$就是$k$时刻决定发出的速度指令。

2. 实时优化 Online optimization
   实时优化指的是在预测中最优控制序列的计算过程，属于最优控制问题。下节中进一步解释。

3. 移动窗口 Receding horizon
   移动窗口时，当前载体已经从$k$时刻前进到$k+1$时刻，再重复执行预测和实时优化的步骤。

内容参考：
[1] M. W. Mehrez的Github上的ppt：https://github.com/MMehrez/MPC-and-MHE-implementation-in-MATLAB-using-Casadi