系统可靠性模型

    与系统故障模型对应的就是系统的可靠性模型。人们经常说某系统“十分可靠”，那么这个“十分”究竟如何衡量呢？下面介绍几种常用的模型。

1 时间模型

    最著名的时间模型是由 Shooman 提出的可靠性增长模型，这个模型基于这样一个假设：一个软件中的故障数目在 t = 0 时是常数，随着故障被纠正，故障数目逐渐减少。

    在此假设下，一个软件经过一段时间的调试后剩余故障的数目可用下式来估计：

   其中，τ 为调试时间， Er (τ ) 为在时刻 τ 软件中剩余的故障数， E0 为τ = 0 时软件中的故障数， Er (τ ) 为在[0，τ]内纠正的故障数，I 为软件中的指令数。

    由故障数 Er (τ ) 可以得出软件的风险函数：
                                                                                 Z(t)=C⋅Er(τ) 

     其中 C 是比例常数。于是，

  软件的可靠度为：

    软件的平均无故障时间为：

    在 Shooman 的模型中，需要确定在调试前软件中的故障数目，这往往是一件很困难的任务。

2 故障植入模型

    故障植入模型是一个面向错误数的数学模型，其目的是以程序的错误数作为衡量可靠性的标准，模型的原型是 1972 年由 Mills 提出的。

    Mills 提出的故障植入模型的基本假设如下：

    （1）程序中的固有错误数是一个未知的常数。

    （2）程序中的人为错误数按均匀分布随机植入。

    （3）程序中的固有错误数和人为错误被检测到的概率相同。

    （4）检测到的错误立即改正。

    用 N0 表示固有错误数，N1 表示植入的人为错误数，n 表示检测到的错误数，ξ 表示被检测到的错误中的人为错误数，则：

    对于给定的 N1，n，在测试中检测到的人为错误数为 k，用最大似然法求解可得固有错误数 N0 的点估计值为：

    考虑到实施植入错误时遇到的困难，Basin 在 1974 年提出了两步查错法，这个方法是由两个错误检测人员独立对程序进行测试，检测到的错误立即改正。用 N0  表示程序中的固有错误数，N1 表示第一个检测员检测到的错误数，n 表示第二个检测员检测到的错误数，用随机变数 η 表示两个检测员检测到的相同的错误数，则：

    如果实际测得的相同错误数为 k，则程序固有错误数 N 0  的点估计值为：

3 数据模型

    在数据模型下，对于一个预先确定的输入环境，软件的可靠度定义为在 n 次连续运行中软件完成指定任务的概率。

    最早的一个数据模型是 Nelson 于 1973 年提出的，其基本方法如下：

    设说明所规定的功能为 F，程序实现的功能为 F′，预先确定的输入集。

                                                                      E={ ei:i=1,2,- - -,N }

   令导致软件差错的所有输入的集合为 Ee ，即:

    则软件运行一次出现差错的概率为：

                                                                    P1=|Ee|/|E|

    一次运行正常的概率为：

                                                                    R1=1−P1=1−Ee   /E

    在上述讨论中，假设了所有输入出现的概率相等，如果不相等，且ei出现的概率为pi(i =1,2,- - -,n)，则软件运行一次出现差错的概率为：

    其中：

    于是，软件的可靠度（n 次运行不出现差错的概率）为：

                                                                   R(n)=R1n=(1-P1)n

    只要知道每次运行的时间，上述数据模型中的 R(n)就很容易转换成时间模型中的 R(t)。