数学知识复习：二阶导复合函数的链式法则

article/2025/9/20 2:57:32

1 结论

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}(\frac{du}{dx})^2+\frac{d^2u}{dx^2}\frac{dy}{du}

2 证明

令 z=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

那么 \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{dz}{dx}

                =\frac{dz}{du}\frac{du}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{du}\frac{du}{dx})}{du}\frac{du}{dx}

                =(\frac{d(\frac{dy}{du})}{du}\frac{du}{dx} +\frac{d(\frac{du}{dx})}{du}\frac{dy}{du}) \frac{du}{dx}

                =[(\frac{d^2y}{du^2})\frac{du}{dx} +\frac{d(\frac{du}{dx})}{du}\frac{dy}{du}]\frac{du}{dx}

                =[(\frac{d^2y}{du^2})(\frac{du}{dx})^2] +[\frac{d(\frac{du}{dx})}{du}\frac{du}{dx}]\frac{dy}{du}        

                =[(\frac{d^2y}{du^2})(\frac{du}{dx})^2] +[\frac{d(\frac{du}{dx})}{dx}]\frac{dy}{du}

                =\frac{d^2y}{du^2}(\frac{du}{dx})^2+\frac{d^2u}{dx^2}\frac{dy}{du}


http://chatgpt.dhexx.cn/article/774lvZ0h.shtml

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