对线性回归、逻辑回归、各种回归的概念学习

article/2025/9/27 1:35:54

回归问题的条件/前提：

1）收集的数据

2）假设的模型，即一个函数，这个函数里含有未知的参数，通过学习，可以估计出参数。然后利用这个模型去预测/分类新的数据。

1. 线性回归

假设特征和结果都满足线性。即不大于一次方。这个是针对收集的数据而言。
收集的数据中，每一个分量，就可以看做一个特征数据。每个特征至少对应一个未知的参数。这样就形成了一个线性模型函数，向量表示形式：

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这个就是一个组合问题，已知一些数据，如何求里面的未知参数，给出一个最优解。一个线性矩阵方程，直接求解，很可能无法直接求解。有唯一解的数据集，微乎其微。

基本上都是解不存在的超定方程组。因此，需要退一步，将参数求解问题，转化为求最小误差问题，求出一个最接近的解，这就是一个松弛求解。

求一个最接近解，直观上，就能想到，误差最小的表达形式。仍然是一个含未知参数的线性模型，一堆观测数据，其模型与数据的误差最小的形式，模型与数据差的平方和最小：

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这就是损失函数的来源。接下来，就是求解这个函数的方法，有最小二乘法，梯度下降法。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84

最小二乘法

是一个直接的数学求解公式，不过它要求X是列满秩的，

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梯度下降法

分别有梯度下降法，批梯度下降法，增量梯度下降。本质上，都是偏导数，步长/最佳学习率，更新，收敛的问题。这个算法只是最优化原理中的一个普通的方法，可以结合最优化原理来学，就容易理解了。

2. 逻辑回归

逻辑回归与线性回归的联系、异同？

逻辑回归的模型是一个非线性模型，sigmoid函数，又称逻辑回归函数。但是它本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。可以说，逻辑回归，都是以线性回归为理论支持的。

只不过，线性模型，无法做到sigmoid的非线性形式，sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

另外它的推导含义：仍然与线性回归的最大似然估计推导相同，最大似然函数连续积（这里的分布，可以使伯努利分布，或泊松分布等其他分布形式），求导，得损失函数。

$\begin{align}J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]\end{align}$

逻辑回归函数

$f(t) = \frac{e^t}{e^t+1} = \frac{1}{1+e^{-t}},$ 表现了0,1分类的形式。

应用举例：

是否垃圾邮件分类？

是否肿瘤、癌症诊断？

是否金融欺诈？

3. 一般线性回归

线性回归是以高斯分布为误差分析模型；逻辑回归采用的是伯努利分布分析误差。

而高斯分布、伯努利分布、贝塔分布、迪特里特分布，都属于指数分布。

而一般线性回归，在x条件下，y的概率分布 p(y|x) 就是指指数分布.

经历最大似然估计的推导，就能导出一般线性回归的误差分析模型（最小化误差模型）。

softmax回归就是一般线性回归的一个例子。

有监督学习回归，针对多类问题（逻辑回归，解决的是二类划分问题），如数字字符的分类问题，0-9,10个数字，y值有10个可能性。

而这种可能的分布，是一种指数分布。而且所有可能的和为1，则对于一个输入的结果，其结果可表示为：

$\begin{align}h_\theta(x^{(i)}) =\begin{bmatrix}p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\\vdots \\p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)\end{bmatrix}=\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }\begin{bmatrix}e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\\vdots \\e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\\end{bmatrix}\end{align}$

参数是一个k维的向量。

而代价函数：

$\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]\end{align}$

是逻辑回归代价函数的推广。

而对于softmax的求解，没有闭式解法（高阶多项方程组求解），仍用梯度下降法，或L-BFGS求解。

当k=2时，softmax退化为逻辑回归，这也能反映softmax回归是逻辑回归的推广。

线性回归，逻辑回归，softmax回归三者联系，需要反复回味，想的多了，理解就能深入了。