斯特林数(Siteling

斯特林数(Siteling_Number)

article/2025/9/22 22:09:22

一、基本概念

斯特林数出现在许多组合枚举问题中.

第一类斯特林数 StirlingS1[n,m]，给出恰包含 m 个圈的 n 个元素的排列数目. 斯特林数满足母函数关系 . 注意某些的定义与 Mathematica 中的不同，差别在于因子 .

第二类斯特林数 StirlingS2[n,m]给出把 n 个可区分小球分配到m个不可区分的的盒子，且盒子没有空盒子的方法的数量. 它们满足关系 . 划分函数 PartitionsP[n]给出把整数 n 写为正整数的和，不考虑顺序的方法的数目. PartitionsQ[n]给出把整数 n 写为正整数的和，并且和中的整数是互不相同的写法的数目

设S(p,k)是斯特林数

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

S(p,k)的递推公式是：

　S(p,k) = k*S(p-1,k) + S(p-1,k-1) ,1<= k <=p-1

边界条件：

S(p,p) = 1 ,p>=0

S(p,0) = 0 ,p>=1

递推关系的说明：考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。引用Brualdi《组合数学》里的一段注释“对于熟悉线性代数的读者，解释如下：具有（比如）实系数，最多为p次的那些各项式形成一个p+1维的向量空间。组1，n，n^2，...。n^p和组A(n, 0)，A(n,1)，A(n,2)，... ，A(n,p)都是该空间的基。第一类Stirling数和第二类Stirling数告诉我们如何用其中的一组基表示另一组基。”

二、解释

第一类Siteling_Number

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是 $n$ 个元素的项目分作 $k$ 个环排列的方法数目。常用的表示方法有 $s(n,k) , \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]$ 。

换个较生活化的说法，就是有 $n$ 个人分成 $k$ 组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如 $s(4,2)$ ：

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}

这可以用有向图来表示。

给定 $s(n,0)=0,s(1,1)=1$ ，有递归关系 $s(n+1,k)=s(n,k-1) + n \; s(n,k)$

递推关系的说明：考虑第n+1个物品，n+1可以单独构成一个非空循环排列，这样前n种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(n,k-1)；也可以前n种物品构成k个非空循环排列，而第n+1个物品插入第i个物品的左边，这有n*s(n,k)种方法。

$| s(n,1) | =(n-1)!$

$s(n,k) = (-1)^{n+k} | s(n,k) |$

$s(n,n-1) = - C(n,2)$

$s(n,2) = (-1)^n (n-1)!\; H_{n-1}$

$s(n,3) = \frac{1}{2} (-1)^{n-1} (n-1)! [ (H_{n-1})^2 - H_{n-1}^{(2)} ]$

$H_n^{(m)}$ 是调和数的推广。

$s(n,k)$ 是递降阶乘多项式的系数：

$x^{\underline{n}}= x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1) = \sum_{k=1}^n s(n,k)x^k$

性质

第二类Siteling_Number

第二类Stirling数是 $n$ 个元素的集定义k个等价类的方法数目。常用的表示方法有 $S(n,k) , S_n^{(k)} , \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}$ 。

换个较生活化的说法，就是有 $n$ 个人分成 $k$ 组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此 $S(4,1)=1$ ；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此 $S(4,4)=1$ ；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：