腾讯、阿里面试题: 了解B+树吗？

由于MySQL的索引结构是B+树，所以B+树是大厂的高频面试题,想理解B+树，最好先理解B树，下面详细介绍B树、B+树

B树

B树的概念

B树又称为B-树，是一种平衡多路查找树，描述B树，一般需要指定其阶数 $M$ ,阶数指的是一个节点包含的子节点最大数量。当 $M$ 取2的时候，就是常见的二叉树

其有如下性质：
- 每个节点最多有 $M - 1$ 个关键字
- 除根节点外，其余的节点至少有 $c e i l (M / 2) - 1$ 个关键字（ $c e i l$ 向上取整函数)
- 每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它
- 所有叶子结点都位于同一层，或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。
B树的插入操作

如下描述是B树的插入算法，相对来说比较简单
1. 找到关键字的插入位置，一定是叶节点位置，进行插入操作
2. 插入后，如果当前节点的关键字数量小于等于 $M - 1$ ，则结束，否则执行步骤3
3. 进行分裂操作，当前节点按中间关键字分裂成三部分，中间关键字插入到父节点中，
左边部分，成为中间关键字的左节点，右边部分成为中间关键字的右节点，然后

当前节点指向父节点，转到2，执行递归操作。

下面是一个5阶B树的分裂过程，上面图是分裂前，下面图是分裂后
B树的构建过程

下面以构建一个5阶树，介绍B树的构建过程。
- 依次插入关键字3，5， 2， 6
- 插入4的时候，由于当前节点关键字数量等于M(5),需要进行分裂操作
- 依次插入关键字1，8，7，9插入9的时候又进行了分裂
- 依次插入关键字10，11，12插入12的时候又进行了分裂过程
- 插入关键字13,14,15,16,17,中间插入15的时候进行了分裂操作
- 最后插入18，进行了两次分裂操作
  
  其实插入的过程会发现，顺序插入空间效率最差，比如[11,12]节点,就插入不了任何元素.
B树的删除过程

B树的删除算法较为复杂，下面首先介绍算法，之后结合实例，阐述
1. 查找关键字，如果不存在，结束，否则进入步骤2.
2. 如果关键字处于叶节点，直接删除。如果关键字处于非叶子节点，则用其前继关键字(前继关键字一定位于叶节点)覆盖要删除的关键字，之后删除后继关键字，将当前节点指向包含后继关键字的节点。以上两种情况，均最后转入步骤3
3. 如果当前节点关键字数量大于等于 $c e i l (M / 2) - 1$ ,则结束，否则转入4
4. 如果兄弟节点(不论左兄弟，还是右兄弟)，关键字数量大于 $c e i l (M / 2) - 1$ ,则父节点中对应的关键字下移到当前节点，兄弟节点对应的关键字上移到父节点，结束。若无兄弟节点关键字数量大于 $c e i l (M / 2) - 1$ ,则转入步骤5
5. 合并操作，将父结点中关键字下移与当前结点及它的兄弟结点中的官架子合并，形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。当前节点指向父节点，重复2，进行递归操作。
下面是一个5阶数的删除过程实例

原B树如下图所示
- 删除关键字7
  
  其前继关键字(类似于平衡二叉树的前继节点,其实也可以为后继节点)为6,覆盖删除后,当前节点只有一个关键字5,而其左兄弟节点有3个关键字节点大于2.所以3上移,4下移到当前节点.
- 删除关键字18
  
  删除关键字18,其实是一个复杂的过程,删除完之后,没有兄弟节点关键字数量大于2,所以进行合并操作左兄弟节点[14,15],父节点中的16,和当前节点合并成一个新节点[14,15,16,17],合并后父节点由于只剩13,所有又要与其父节点关键字,左兄弟节点合并,构造一个新的节点,最后结果如下
B树的优缺点

B树主要的优点是相对于二叉树,每个节点包括更多的关键字,所以其树高相对较低,查找效率很高.

Ｂ+树

B+树的概念
- B+树包含两种节点，一种是非叶子节点(索引节点)，一种是叶子节点。
- B+树与B树，最大的不同是B+树的非叶子节点不保存数据，只用于索引，所有数据都保存在叶子节点
- 非叶子节点最多有 $M - 1$ 个关键字，阶数 $M$ 同时限制了叶子结点最多存储 $M - 1$ 个记录。
- 索引节点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。
- 每个叶子节点都存有相邻叶子节点的指针，叶子节点本身依关键字的大小自小而大顺序链接（范围查找特性）
B+树插入
- B+树插入算法
  1. 通过查找，确定关键字的插入位置，插入位置一定位于叶节点，插入后，如果当前
    
    节点关键字数量小于等于 $M - 1$ ,算法结束，否则转入步骤2.
  2. 分裂过程，将当前节点，分为左右两个叶子节点，左叶子节点包含前 $M / 2$ 个记录，
    
    右叶子节点包含剩余记录，并且将第 $M / 2 + 1$ 个记录的关键字上移到父节点。当前节点指针指向父节点，然后执行步骤3.(父节点一定是索引节点)
  3. 如果当前节点的关键字数量小于 $M$ ,则插入结束，否则，将当前索引节点以中间关键字为中心分裂成两个索引节点，左索引节点和右索引节点，并将中间关键字上移到父节点中。并且其左节点为上面提到的左索引节点,其右节点为右索引节点。将当前节点指针指向父节点，重复步骤3
- B+树插入实例
  
  如下是一个5阶B+数的构造过程
  - 依次插入1、5、9、13
  - 插入17的时候，发生分裂过程
  - 依次插入2、3、4，插入4的时候，发生分裂过程
  - 依次插入10，11，插入11的时候，发生分裂过程
  - 插入12，14，插入14的时候，发生分裂过程
  - 插入15，16，插入16的时候，发生两次分裂过程，依次在叶节点，和索引节点
B+树删除
- B+树删除算法
  1. 找到目标关键字所在的叶节点位置，进行删除，若删除后，当前节点关键字数量大于
    
    等于 $c e i l (M / 2) - 1$ ，结束，否则转到步骤2
  2. 若兄弟节点有富余(大于 $c e i l (M / 2) - 1$ )，向兄弟借一个记录，同时用借到的key替换父节点中对应的关键字，结束。否则转到步骤3
  3. 若兄弟节点没有富余,则当前节点和兄弟节点合并成一个新的节点，删除父节点的关键字，新节点指向父节点相应的位置。执行步骤4
  4. 若索引节点的关键字个数大于等于 $c e i l (M / 2) - 1$ ，则结束，否则执行5
  5. 若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步
  6. 当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步
  4，5，6步类似B树的删除过程
- B+树删除算法实例
  
  原来的一个5阶树
  - 删除10
    
    左兄弟节点有富余，借一个记录5，并且替换父节点中的关键字
  - 删除11
    
    删除11这个过程非常复杂，首先没有兄弟节点有富余，所以当前节点和兄弟节点合，并且删除掉父节点中对应的关键字，也就是13。之后由于父节点只有15一个关键字，需要一次索引节点的合并过程
    
    每次删除的时候，记得更新索引结构，即将索引结构中的要删除的关键字，替换成其后继节点
B+树的优点

1、B+树的层级更少：相较于B树B+每个非叶子节点存储的关键字数更多，树的层级更少所以查询数据更快；

2、B+树查询速度更稳定：B+所有关键字数据地址都存在叶子节点上，所以每次查找的次数都相同所以查询速度要比B树更稳定;

3、B+树天然具备排序功能：B+树所有的叶子节点数据构成了一个有序链表，在查询大小区间的数据时候更方便，数据紧密性很高，缓存的命中率也会比B树高。

4、B+树全节点遍历更快：B+树遍历整棵树只需要遍历所有的叶子节点即可，，而不需要像B树一样需要对每一层进行遍历，这有利于数据库做全表扫描。

B树相对于B+树的优点是，如果经常访问的数据离根节点很近，而B树的非叶子节点本身存有关键字其数据的地址，所以这种数据检索的时候会要比B+树快。