虚拟变量–潘登同学的计量经济学笔记

对定性信息的描述

定性信息通常以二值形式出现，我们可以通过定义一个二值变量（0-1变量）来刻画，在计量经济学中二值变量通常被称为虚拟变量

只有一个虚拟变量的情形

考虑一个决定小时工资的简单模型

$$wage={\beta }_0+{\beta }_{1}female+{\beta }_{2}educ+u$$

其中$female$就是一个虚拟变量，女性则为1，男性则为0

虚拟变量系数的解释

对于上式来说，参数${\beta }_1$的含义是:在教育程度与误差项相同的情况下，男性与女性在小时工资上的差异；

如果${\beta }_1<0$,那么意味着在其他条件相同的情况下，女性工资要低于男性（就有可能存在性别歧视）

虚拟变量的作用效果

可以对男性和女性的模型分开来写

• 女性
  $$wage={\beta }_0+{\beta }_1+{\beta }_{2}educ+u$$
• 男性
  $$wage={\beta }_0+{\beta }_{2}educ+u$$
  可以发现，虚拟变量的系数变成了截距项，如果将两个模型分别画在图上，就会发现这是两条互相平行的线，只是截距有所不同

检验工资性别歧视

方法很简单，还是跟之前那样

• 先用OLS来估计模型
• 使用t统计量来检验系数的显著性水平

因变量为对数形式的情况

观察如下回归结果

$$\widehat{\log (wage)}=0.417-0.297female+0.080educ+0.029exper-0.00058expe{r}^2+0.032tenure-0.00059tenur{e}^2$$

female的系数表示: 在educ、exper、tenure的相同水平上，女性比男性约少挣29.7%

如果我们想得到更精确的估计，计算女性与男性工资差异的比例
d i f f e r e n t = w a g e F ^ − w a g e M ^ w a g e M ^ = e x p { log ⁡ w a g e F ^ w a g e M ^ } − 1 = e x p { − 0.297 } − 1 ≈ − 0.257 different = \frac{\hat{wage_F}-\hat{wage_M}}{\hat{wage_M}} = exp\{\log \frac{\hat{wage_F}}{\hat{wage_M}}\} - 1 = exp\{-0.297\}-1 \approx -0.257 different=wageM​^​wageF​^​−wageM​^​​=exp{logwageM​^​wageF​^​​}−1=exp{−0.297}−1≈−0.257

更准确的估计意味着，一个女性的工资比一个与她相当的男性的工资低大约25.7%

多个虚拟变量的情形

虚拟变量有4个: 已婚男性、已婚女性、单身男性、单身女性，选择以单身男性为基组，回归结果如下

$$\widehat{\log (wage)}=0.321+0.213marrmale-0.198marrfem-0.110singfem+0.079educ+0.027exper-0.00054expe{r}^2+0.029tenure-0.00053tenur{e}^2$$

虚拟变量系数的解释

我们选择了单身男性作为基组，三个虚拟变量系数的估计值表示： 与单身男性相比，小时工资的差异

举例说明

• 在保持受教育程度、工作经历和现职任期不变的情况下，已婚男性比单身男性多挣21.3%

• 除了比较其他各组与基组的差异，也可以比较任意两组的差异，在保持受教育程度、工作经历和现职任期不变的情况下，单身女性比已婚女性多挣8.8%（0.198-0.110=0.088）

注意我们只将4个变量中的3个加入模型，如果我们再加入一个单身男性的虚拟变量，将会导致完全共线性，即
$$marrmale+marrfem+singfem+singmale=1$$

使用虚拟变量包含序数信息

我们想估计城市信用等级对地方政府债券利率MBR的影响，假设等级的范围是 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } \{0,1,2,3,4\} {0,1,2,3,4},0为最低信用等级，4为最高信用等级。我们不能将这五个值放到一个值中，我们能知道4级比3级好，但4级比3级好的程度是否与3级比2级好的程度一样就不一定，所以可以包括4个虚拟变量

$$MBR={\beta }_0+{\beta }_{1}C{R}_1+{\beta }_{2}C{R}_2+{\beta }_{3}C{R}_3+{\beta }_{4}C{R}_4+{\beta }_{5}C{R}_5+其他因素$$

虚拟变量的交互作用

如果采用交互项的形式，也能刻画前面那个婚姻、性别的模型，模型的回归结果如下

$$\widehat{\log (wage)}=0.321-0.110female+0.213married-0.301female\ast married+0.079educ+0.027exper-0.00054expe{r}^2+0.029tenure-0.00053tenur{e}^2$$

上式也包含了性别、婚姻各种组合之间工资差异的一种不同方法。实际上，他并没有什么优势；前面的那个还能很好的反映任何一组与单身男性组（基组）之间的差异

虚拟变量与其他变量交互

观察一下模型

$$\log (wage)=({\beta }_0+{\beta }_{1}female)+({\beta }_2+{\beta }_{3}female)educ+u$$

一旦虚拟变量与其他变量交互了，之前说的相互平行、截距不同的结论就不适用了，因为educ前的系数是$({\beta }_2+{\beta }_{3}female)$当$female$取0或1时，对系数会产生不同的结果

检验不同组之间回归函数上的差别

原假设$H_0:$两个总体或两个组具有同一个回归函数

备择假设$H_1:$各组之间有一个或多个斜率是不同的

举例说明
$$cumgpa={\beta }_0+{\beta }_{1}sat+{\beta }_{2}hsperc+{\beta }_{3}tothrs+u$$

如果我们想检验男女之间是否存在差异: 就必须允许该模型的截距和斜率对两组而言都不相同
$$cumgpa={\beta }_0+{\delta }_{0}female+{\beta }_{1}sat+{\delta }_{1}female\ast sat+{\beta }_{2}hsperc+{\delta }_{2}female\ast hsperc+{\beta }_{3}tothrs+{\delta }_{3}female\ast tothrs+u$$

原假设$H_0:{\delta }_0=0,{\delta }_1=0,{\delta }_2=0,{\delta }_3=0$

注意，原假设是一个联合假设，需要去掉所有female及其交互项，得到约束模型，计算F统计量，最终得出结果（拒绝原假设)

邹至庄检验

对上面一个问题的检验可以使用邹至庄检验，邹至庄检验是用来可以测试两组不同数据的线性回归系数是否相等，对于上面问题来说就是男女数据，假设组1不包含虚拟变量及交互项，组2包括，记为$g=1,g=2$,将模型写成
$$y={\beta }_{g,0}+{\beta }_{g,1}{x}_1+{\beta }_{g,2}{x}_2+\cdots +{\beta }_{g,k}{x}_k+u$$

• 两组间每个$\beta$都相同，产生k+1个约束
• 组2还包括虚拟变量及截距项，自由度为n-2(k+1)(其中一个k+1是上句话，其中一个k+1是(各个虚拟变量及交互项前)参数个数)

计算步骤

• 计算$SS{R}_1$：表示第一组的残差平方和（$n_1$个观测）
• 计算$SS{R}_2$：表示第二组的残差平方和（$n_2$个观测）
• 计算无约束模型的残差平方和$SS{R}_{ur}=SS{R}_1+SS{R}_2$
• 将两组数据混在一起，计算约束模型的残差平方和$SS{R}_p$
• 计算F统计量:
  $$F=\frac{SS{R}_p-SS{R}_{ur}}{SS{R}_{ur}}\cdot \frac{n-2(k+1)}{k+1}$$

其中,n为总观测次数，这个特定的F统计量，被称为邹至庄统计量（注意因为邹至庄检验本质是F检验，所以只有在同方差下才是有效的，特别是在原假设下，两组的误差方差必须相等）

稍作改进

邹至庄检验的原假设是各组间不存在任何差异，如果允许组间的截距不同，然后再来检验斜率的话，只需要将k+1改为k即可
$$F=\frac{SS{R}_p-SS{R}_{ur}}{SS{R}_{ur}}\cdot \frac{n-2(k+1)}{k}$$

二值因变量

$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_k{x}_k$$

与多元回归模型类似，只不过y是一个二值变量，要么是0，要么是1；

如果我们假定MLR.4成立，即$E(u|x_1,\dots ,x_k)=0$,那么
$$E(y|x)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_k{x}_k$$

值得注意的是，当y是一个取值为0和1的二值变量时，$E(y|x)=P(y=1|x)$ 表示y=1的概率，也被称为响应概率，因此二值因变量的多元线性回归模型也被称为线性概率模型（LPM）

系数解释

用概率来解释系数: 当其他条件不变是，x变化一个单位使得响应概率变化$\beta$
$$△P(y=1|x)={\beta }_j△x_j$$

几点注意

由于二值的特性，所以LPM违背了一个高斯-马尔科夫假定MLR.5($var(u|x)={\sigma }^2$)，当y是一个二值变量时，其以x为条件的方差为
$$\begin{gathered} Var(y|x)=p(x)[1-p(x)] \\ p(x)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_k{x}_k \end{gathered}$$

这意味着，除非概率与任何一个自变量都不相关，否则LPM就会存在异方差性。但我们知道MLR.5的违背不影响无偏性…