扩展Euclidean算法求乘法逆原理详解与算法实现

article/2025/9/18 7:13:27

【利用扩展Euclidean算法求乘法逆】

1. Equipment

（1） operating system version ：WIN 10

（2） CPU instruction set: x 64

（3） software ：Visual Studio 2019

2. process

Problem background analysis

利用扩展Euclidean算法计算下列的乘法逆:
(1) $17^{-1}$ mod 101
(2) $357^{-1}$ mod 1234
(3)计算 gcd(57,93)，并找出整数s和t，使得57s+93t=gcd(57,93)
(4）求解下列同余方程组
$X \equiv 12 (m o d 25)$
$X \equiv 9 (m o d 26)$
$X \equiv 23 (m o d 27)$

采用扩展欧几里得算法求解乘法逆元，通过学习可知，扩展欧几里得算法除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），即得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。若 a * x == 1mod p，则称x为a关于模p的乘法逆元。

Solution

code：先分别编写所需的函数部分

#include<iostream>
using namespace std;
/** @Author:timerring* @Date: 2021-11-19 12:41:32* @LastEditTime: 2021-11-21 23:12:45* @FilePath:c:\Users\timerring\Euclidean.cpp*/
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {//定义扩展欧几里得算法if (b == 0){//最里面ax+0=a的情况x = 1;y = 0;return a;}//通过递归的方法进到最里层确定x，y的值，从逐步到外层计算出x，yint d = exgcd(b, a % b, x, y);//x==y1,y==x1-a/b*y1int temp = x;x = y;y = temp - a / b * y;return d;
}
int gcd(int a, int b) {//定义欧几里得算法if (a % b == 0) {return b;}return gcd(b, a % b);
}
bool linearEquation(int a, int b, int c, int& x, int& y)
{//定义求解线性等式int d = exgcd(a, b, x, y);if (c % d) return false;int k = c / d;x *= k; y *= k;//求的只是其中一个解return true;
}
int inverse(int a, int p) {//定义求逆元的方法int x, y, gcd;gcd = exgcd(a, p, x, y);if (gcd == 1) {//确保x为正数x = (x % p + p) % p;return x;}else {cout << "a,p不互质";return 0;}
}

运行结果：

1.对于（1）（2）题，可以直接采取调用inverse函数的方法求解其逆元：

int main() {//求解ax + py = gcd(a,p) = 1int a, p;cout << "请输入 a p" << endl;cin >> a >> p;cout << "a mod p的乘法逆元是" << inverse(a, p);return 0;
}

由结果可知，17mod101的逆元是6，357mod1234的逆元是1075.

2.对于（3）题，可以使用linearEquation函数完成对于线性等式a * s + p * t = gcd（a，p）的求解。

int main() {//求解ax + py = gcd(a,p)int a, p, x, y, temp;cout << "请输入对应的a和p：" << endl;cout << "（a * s + p * t = gcd（a，p））" << endl;cin >> a >> p;temp = gcd(a, p);linearEquation(a, p, temp, x, y);cout << "对应的s和t是" << "\ns = "<<x <<"\nt = "<<y;return 0;
}

由结果可知，求解得s = -13，t = 8。

3.对于（4）题求解同余方程组，可以采用不断合并方程的方式完成求解。

int main()
{int n, b1, m1;bool tf = true;printf("请输入方程组的个数：");scanf("%lld", &n);printf("请分别输入方程组的参数：\n");scanf("%lld%lld", &b1, &m1);for (int u = 2; u <= n; u++){int b2, m2;scanf("%lld%lld", &b2, &m2);int A, B, x, y, dd = b2 - b1;A = m1, B = m2;int d = exgcd(A, B, x, y);if (dd % d != 0) { printf("no solution!"); return 0; }x = (x * (dd / d) % (B / d) + (B / d)) % (B / d);b1 = m1 * x + b1;m1 = m1 * m2 / d;}if (tf == false) printf("no solution!");else printf("方程组的解为：%d\n", b1);return 0;
}

由结果可知，同余方程组的解为14387，通过验算可知，结果正确。

3. summary and harvest

我对扩展欧几里得算法及其多种的应用更加熟练了，也让我对它的理解更加全面，例如对于ax mod p = 1，x就是a 在mod p乘法群的乘法逆元，通过拓展欧几里得算法，得到ax + py = gcd（a，p），因为a属于模p乘法群，所以a<p，所以a与p互素，则有gcd(a,p)=1，即 ax + py = 1。同时两边求mod p，即有 ax = 1（mod p），即此时的x就是乘法逆元，通过这种方法就可以求出其乘法逆元。

在写代码时，我通过递归的方法实现了欧几里得算法的编写，其实算法的实现原理就是，有两个整数a，b，每次一个数字r = a % b，然后把b放到a的位置，把r放到b的位置，递归调用实现。结束条件是当 a%b == 0的时候停止。受到编写欧几里得算法时的启发，我发现扩展欧几里得的算法或许可以通过递归的方式求解，大概在纸上写了基础逻辑之后，我就用C++通过递归的方法进到最里层确定x，y的值，从逐步到外层计算出x，y的值。

求解线性方程时，由于 ax+by=c有解 => c=k*gcd(a,b)=kd，我们先考虑求解 ax+by=d，由欧几里得算法,d=bx’+(a mod b)y’=bx’+(a-[a/b]b)y’=ay’+b(x’-[a/b])y’ ，则由上述式子，我们可以得出 x=y’ ,y=x’-[a/b]y’，即可得到这对解。

求解同余方程组时我是采用合并的方式实现的。例如我们观察两个同余方程
$x \equiv a 1 (m o d m 1)$

$x \equiv a 2 (m o d m 2)$

其实这个可以写成以下形式
$x - y 1 * m 1 = a 1$

$x - y 2 * m 2 = a 2$

两个式子相减可以得到
$y 1 * m 1 - y 2 * m 2 = a 2 - a 1$
然后这里m1,m2,(a2−a1)都是已知的，所以可以当一个不定方程来解，这样的话就可以解出一个y1，带入原式就可以得到一个可能的x0，x0仅仅满足下面这个式子x=x0+k∗lcm(m1,m2)
这个又可以看成一个新的同余方程
$x \equiv x 0 (m o d [m 1, m 2])$
然后如果满足这个方程就可以满足那两个方程了，就成功地将两个方程合为一个，一直合下去就可以得到一个唯一的不定方程，求解即可。